包含所有必要的解释和优化后的代码

矩阵取数问题可以通过动态规划来解决。以下是使用较少空间的优化方法。

递归式总结

步骤逐渐增加：dp[step + 1][x1][x2] 的计算基于 dp[step][x1'][x2'] 的值。

不同情况处理：
- 如果行列不同，取最大加上对应的取数值。
- 如果行列相同，则只加一次取数值。

代码优化总结

#include 
   
    
#include 
    
     
#include 
     
      
#include 
      
       
#include 
       
        
#include 
        
          #include 
          using namespace std; LL LL = 0; #define INF 0x3f3f3f3f #define PI acos(-1.0) #define E 2.71828 #define MOD 1000000007 #define N 210 #define M 5010 int n, m; int p[N][N]; int dp[N][N]; // 优化空间复杂度为二维数组 int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) scanf("%d", &p[i][j]); // 初始化dp数组 for(int x = 0; x < N; x++) for(int y = 0; y < N; y++) dp[x][y] = 0; for(int k = 1; k <= n + m; k++) { for(int i = 1; i <= min(k, n); i++) { for(int j = 1; j <= min(k, m); j++) { LL cost1 = dp[i - 1][j - 1] + p[i][k - i + 1] + (i == j ? 0 : p[j][k - j + 1]); LL cost2 = dp[i - 1][j] + p[i][k - i + 1] + (i == j ? 0 : p[j][k - j + 1]); LL cost3 = dp[i][j - 1] + p[i][k - i + 1] + (i == j ? 0 : p[j][k - j + 1]); LL cost4 = dp[i][j] + p[i][k - i + 1] + (i == j ? 0 : p[j][k - j + 1]); LL current_max = max(cost1, max(cost2, max(cost3, cost4))); if(current_max > dp[i][j]) dp[i][j] = current_max; } } } printf("%lld\n", dp[n][m]); return 0; }

优化思路解析

空间优化：将原来的三维 dp 表优化到二维结构，利用当前步和上一步的信息，避免重复存储所有步骤的数据。

元素访问方式调整：根据步骤逐步构建，确保每次只使用必要的信息。

细节处理：正确处理行列相同的情况，避免在同一行或列多次累加。

可读性维护：代码注释清楚，方便维护和理解。

该方法有效减少了空间复杂度，同时保持了算法的正确性和性能。

最终输出为：

51nod 1084 矩阵取数问题 V2
递归式：
if x1 != x2:
    dp[step + 1][x1][x2] = max(dp[step][x1’][x2’]) + a[x1][y1] + a[x2][y2]
if x1 == x2:
    dp[step + 1][x1][x2] = max(dp[step][x1’][x2’]) + a[x1][y1]
初始值：
dp[0][x][y] = 0
代码优化版本：
#include 
   
    
#include 
    
     
#include 
     
      
#include 
      
       
#include 
       
        
#include 
        
          #include 
          using namespace std; LL LL = 0; #define INF 0x3f3f3f3f #define PI acos(-1.0) #define E 2.71828 #define MOD 1000000007 #define N 210 #define M 5010 int n, m; int p[N][N]; int dp[N][N]; int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) scanf("%d", &p[i][j]); for(int x = 0; x < N; x++) for(int y = 0; y < N; y++) dp[x][y] = 0; for(int k = 1; k <= n + m; k++) { for(int i = 1; i <= min(k, n); i++) { for(int j = 1; j <= min(k, m); j++) { LL cost1 = dp[i - 1][j - 1] + p[i][k - i + 1] + (i == j ? 0 : p[j][k - j + 1]); LL cost2 = dp[i - 1][j] + p[i][k - i + 1] + (i == j ? 0 : p[j][k - j + 1]); LL cost3 = dp[i][j - 1] + p[i][k - i + 1] + (i == j ? 0 : p[j][k - j + 1]); LL cost4 = dp[i][j] + p[i][k - i + 1] + (i == j ? 0 : p[j][k - j + 1]); LL current_max = max(cost1, max(cost2, max(cost3, cost4))); if(current_max > dp[i][j]) dp[i][j] = current_max; } } } printf("%lld\n", dp[n][m]); return 0; }